Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules noires, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard et on note sa couleur, puis on lance un dé équilibré à six faces. Les deux épreuves sont indépendantes. On note $R$ l'issue « la boule est rouge » et $N$ l'issue « la boule est noire ».
- Décrire l'univers $\Omega$ de l'expérience globale et donner son nombre d'issues. Ces issues sont-elles équiprobables ?
- Calculer la probabilité de l'issue $(R,6)$.
- Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « la boule est noire et le dé donne un nombre supérieur ou égal à 5 ».
- Calculer la probabilité de l'événement $B$ : « la boule est rouge ou le dé donne 6 ».
L'univers global est un produit cartésien $\Omega_1\times\Omega_2$.
Par indépendance, la probabilité d'une issue $(x_1,x_2)$ est $P_1(x_1)\times P_2(x_2)$.
Pour la question 4, l'événement contraire de $B$ s'écrit avec un « et ».
- La première épreuve a pour univers $\Omega_1=\{R\,;N\}$, avec $P_1(R)=\dfrac25$ et $P_1(N)=\dfrac35$. La seconde a pour univers $\Omega_2=\{1,2,3,4,5,6\}$, chaque face ayant la probabilité $\dfrac16$. L'univers de l'expérience globale est $\Omega=\Omega_1\times\Omega_2$ ; il contient $2\times6=12$ issues, de $(R,1)$ à $(N,6)$.
Ces issues ne sont pas équiprobables : par exemple $(R,1)$ a pour probabilité $\dfrac25\times\dfrac16=\dfrac1{15}$ et $(N,1)$ a pour probabilité $\dfrac35\times\dfrac16=\dfrac1{10}$.
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Les épreuves étant indépendantes : $$P\big((R,6)\big)=P_1(R)\times P_2(6)=\frac25\times\frac16=\frac2{30}=\frac1{15}.$$
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$A=\{(N,5)\,;(N,6)\}$. Chacune de ces deux issues a pour probabilité $\dfrac35\times\dfrac16=\dfrac1{10}$, donc $$P(A)=\frac1{10}+\frac1{10}=\frac15.$$ On retrouve bien $\dfrac35\times\dfrac26=\dfrac15$.
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L'événement contraire $\overline B$ est « la boule est noire et le dé ne donne pas 6 ». Par indépendance : $$P(\overline B)=\frac35\times\frac56=\frac{15}{30}=\frac12,\qquad\text{donc}\qquad P(B)=1-\frac12=\frac12.$$ Vérification avec la formule de la réunion : la probabilité que la boule soit rouge est $\dfrac25$, celle que le dé donne 6 est $\dfrac16$, celle des deux à la fois est $\dfrac1{15}$ ; d'où $P(B)=\dfrac25+\dfrac16-\dfrac1{15}=\dfrac{12+5-2}{30}=\dfrac12$.
12 issues ; P((R,6)) = 1/15 ; P(A) = 1/5 ; P(B) = 1/2