Une agence loue des vélos à 30 clients un samedi. Chaque client demande un siège enfant avec la probabilité $0{,}2$, indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de sièges enfants demandés.
- Donner la loi de $X$ en justifiant.
- Calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$ (arrondi au centième).
- Déterminer le nombre minimal $k$ de sièges que l'agence doit prévoir pour que la probabilité de satisfaire toutes les demandes soit au moins $0{,}95$.
- L'agence prévoit ce nombre $k$ de sièges. Calculer la probabilité qu'au moins un client ne puisse pas être satisfait (arrondi à $10^{-4}$).
Toutes les demandes sont satisfaites lorsque $X\leqslant k$.
Afficher le tableau de $P(X\leqslant k)$ à la calculatrice autour de $E(X)$.
Pour la question 4, l'événement est $\{X\geqslant k+1\}$.
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L'épreuve « servir un client » est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le client demande un siège enfant », de probabilité $p=0{,}2$, répétée 30 fois de façon identique et indépendante. $X$ compte les succès, donc $X\sim\mathcal B(30\,;0{,}2)$.
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$E(X)=30\times0{,}2=6$ et $V(X)=30\times0{,}2\times0{,}8=4{,}8$, donc $\sigma(X)=\sqrt{4{,}8}\approx2{,}19$.
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Avec $k$ sièges, toutes les demandes sont satisfaites si et seulement si $X\leqslant k$. On cherche le plus petit entier $k$ tel que $P(X\leqslant k)\geqslant0{,}95$. La calculatrice donne :
| $k$ | $8$ | $9$ | $10$ | $11$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X\leqslant k)$ | $\approx0{,}8713$ | $\approx0{,}9389$ | $\approx0{,}9744$ | $\approx0{,}9905$ |
Comme $P(X\leqslant9)\approx0{,}9389<0{,}95$ et $P(X\leqslant10)\approx0{,}9744\geqslant0{,}95$, l'agence doit prévoir au moins 10 sièges.
- Avec 10 sièges, au moins un client n'est pas satisfait si $X\geqslant11$ : $$P(X\geqslant11)=1-P(X\leqslant10)\approx1-0{,}97438=0{,}0256.$$
X ~ B(30 ; 0,2) ; E(X) = 6 ; σ(X) ≈ 2,19 ; k = 10 ; P(X≥11) ≈ 0,0256