Un ticket à gratter est gagnant avec la probabilité $0{,}08$. Une personne achète $n$ tickets ($n\geqslant1$) ; on admet que les résultats des tickets sont indépendants. On note $X$ le nombre de tickets gagnants.
- Donner la loi de $X$ et exprimer en fonction de $n$ la probabilité $p_n$ d'avoir au moins un ticket gagnant.
- Déterminer, par le calcul, le plus petit entier $n$ tel que $p_n\geqslant0{,}9$.
- Écrire une fonction Python
seuil()qui renvoie cet entier, et contrôler le résultat en calculant $p_n$ pour les deux valeurs encadrantes.
$p_n=1-P(X=0)$.
Isoler $0{,}92^n$, puis appliquer la fonction $\ln$.
$\ln(0{,}92)$ est négatif : attention au sens de l'inégalité.
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L'épreuve « gratter un ticket » est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le ticket est gagnant », de probabilité $0{,}08$, répétée $n$ fois de façon identique et indépendante. $X$ compte les succès : $X\sim\mathcal B(n\,;0{,}08)$. Donc $$p_n=P(X\geqslant1)=1-P(X=0)=1-0{,}92^n.$$
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$$\begin{aligned}p_n\geqslant0{,}9&\iff1-0{,}92^n\geqslant0{,}9\\&\iff0{,}92^n\leqslant0{,}1\\&\iff n\ln(0{,}92)\leqslant\ln(0{,}1)\quad\text{car }\ln\text{ est strictement croissante sur }]0\,;+\infty[\\&\iff n\geqslant\frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}92)}\quad\text{car }\ln(0{,}92)<0.\end{aligned}$$ Or $\dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}92)}\approx27{,}62$. Le plus petit entier qui convient est $n=28$.
def seuil():
n = 1
while 1 - 0.92**n < 0.9:
n = n + 1
return n
La boucle s'arrête au premier $n$ pour lequel $p_n\geqslant0{,}9$ ; l'appel renvoie 28. Contrôle : $p_{27}=1-0{,}92^{27}\approx1-0{,}1053=0{,}8947<0{,}9$ et $p_{28}=1-0{,}92^{28}\approx1-0{,}0969=0{,}9031\geqslant0{,}9$.
Il faut donc acheter au moins 28 tickets.
p_n = 1 − 0,92^n ; n = 28