Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droiteCalculer la distance d'un point à une droiteCalculer l'aire d'un triangle de l'espace
Dans un repère orthonormé, on considère la droite $d$ passant par $A(1;2;-1)$ et de vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$, ainsi que le point $M(2;3;3)$.
- Vérifier que $M$ n'appartient pas à $d$.
- Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$.
- En déduire la distance de $M$ à la droite $d$.
- On note $B$ le point de $d$ de paramètre $3$, c'est-à-dire $\overrightarrow{AB}=3\vec u$. Calculer l'aire du triangle $AMB$.
Indice 1
Un point de $d$ s'écrit $(1+2t;\ 2-t;\ -1+2t)$.
Indice 2
Écrire $\overrightarrow{MH}$ en fonction de $t$ et résoudre $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$.
Indice 3
Dans le triangle $AMB$, le segment $[MH]$ est une hauteur.
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