Terminale › Orthogonalité et distances dans l'espace › Projeté orthogonal d'un point sur un plan donné par une équation
Projeté orthogonal d'un point sur un plan donné par une équation : méthode (Terminale spé)
Méthode
Projeté orthogonal d'un point sur un plan donné par une équation
Données : $M$ et $\mathcal P:\ ax+by+cz+d=0$.
- Lire un vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$.
- Écrire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $M$ et de vecteur directeur $\vec n$ : $\begin{cases}x=x_M+at\\y=y_M+bt\\z=z_M+ct\end{cases}$.
- Chercher l'intersection de $\Delta$ et de $\mathcal P$ : remplacer dans l'équation du plan et résoudre en $t$.
- Reporter la valeur de $t$ : on obtient $H$. Contrôler que $H\in\mathcal P$.
Exemple
Projeté orthogonal sur un plan
Soient $\mathcal P:\ x+2y-2z+6=0$ et $M(3;2;-1)$.
La droite $\Delta$ passant par $M$ et dirigée par $\vec n\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$ a pour représentation $\begin{cases}x=3+t\\y=2+2t\\z=-1-2t\end{cases}$, $t\in\mathbb R$.
En remplaçant dans l'équation de $\mathcal P$ : $$(3+t)+2(2+2t)-2(-1-2t)+6=0\iff15+9t=0\iff t=-\frac53$$
Donc $H\left(3-\frac53;\ 2-\frac{10}3;\ -1+\frac{10}3\right)$, soit $H\left(\frac43;-\frac43;\frac73\right)$.
Contrôle : $\frac43-\frac83-\frac{14}3+6=-\frac{18}3+6=0$.
S’entraîner
- Produit scalaire et orthogonalité en coordonnées
- Plan défini par un point et un vecteur normal
- Position d'une droite et d'un plan
- Équation du plan passant par trois points
- Une diagonale orthogonale à un plan du cube