Projeté orthogonal d'un point sur une droite : méthode (Terminale spé)
Projeté orthogonal d'un point sur une droite
Données : $M$ et la droite $d$ passant par $A$ de vecteur directeur $\vec u$.
- Écrire les coordonnées d'un point quelconque de $d$ en fonction de $t$ : $H(x_A+\alpha t;\ y_A+\beta t;\ z_A+\gamma t)$, où $\vec u\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}$.
- Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{MH}$ en fonction de $t$.
- Résoudre $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$ : équation du premier degré en $t$.
- Reporter $t$ pour obtenir $H$, puis contrôler $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$.
Projeté orthogonal sur une droite
Soient $d$ la droite passant par $A(1;0;2)$ de vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, et $M(3;4;-1)$.
Un point de $d$ s'écrit $H(1+t;\ t;\ 2+t)$, donc $\overrightarrow{MH}\begin{pmatrix}t-2\\t-4\\t+3\end{pmatrix}$.
$$\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=(t-2)+(t-4)+(t+3)=3t-3$$ qui est nul pour $t=1$. Donc $H(2;1;3)$.
Contrôle : $\overrightarrow{MH}\begin{pmatrix}-1\\-3\\4\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=-1-3+4=0$.
Une formule pour le paramètre
Dans la méthode précédente, on écrit $\overrightarrow{AH}=t\vec u$. La condition $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$ équivaut à $\left(\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AM}\right)\cdot\vec u=0$, soit : $$t=\frac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}$$
Dans l'exemple : $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AM}\cdot\vec u=3$ et $\|\vec u\|^2=3$, donc $t=1$. Cette formule n'est pas exigible ; la méthode par résolution suffit.
S’entraîner
- Plan défini par un point et un vecteur normal
- Position d'une droite et d'un plan
- Une diagonale orthogonale à un plan du cube
- Projeté orthogonal sur un plan et distance
- Projeté orthogonal sur une droite
Dans le cours
Orthogonalité et distances dans l'espace : Projeté orthogonal d'un point sur une droite