Le projeté orthogonal est le point le plus proche : énoncé (Terminale spé)
Le projeté orthogonal est le point le plus proche
Soient $\mathcal P$ un plan, $M$ un point et $H$ son projeté orthogonal sur $\mathcal P$. Pour tout point $N$ de $\mathcal P$ : $$MN\geqslant MH$$ avec égalité si et seulement si $N=H$.
Le résultat est le même en remplaçant le plan $\mathcal P$ par une droite $d$.
Démonstration : Le projeté orthogonal est le point le plus proche
Le projeté orthogonal est le point le plus proche
Soit $N$ un point de $\mathcal P$. Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HN}$, donc : $$MN^2=\|\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HN}\|^2=MH^2+2\,\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{HN}+HN^2$$
Les points $H$ et $N$ appartiennent à $\mathcal P$, donc $\overrightarrow{HN}$ est un vecteur du plan $\mathcal P$. Le vecteur $\overrightarrow{MH}$ est colinéaire à un vecteur normal de $\mathcal P$ (ou nul si $M\in\mathcal P$). Donc $\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{HN}=0$ et : $$MN^2=MH^2+HN^2$$
Comme $HN^2\geqslant0$, on obtient $MN^2\geqslant MH^2$, puis $MN\geqslant MH$ car les distances sont positives. L'égalité a lieu si et seulement si $HN=0$, c'est-à-dire $N=H$.
Pour une droite $d$ de vecteur directeur $\vec u$, le raisonnement est identique : $\overrightarrow{HN}$ est colinéaire à $\vec u$ et $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$.
S’entraîner
- Plan défini par un point et un vecteur normal
- Position d'une droite et d'un plan
- Une diagonale orthogonale à un plan du cube
- Projeté orthogonal sur un plan et distance
- Projeté orthogonal sur une droite
Dans le cours
Orthogonalité et distances dans l'espace : Le projeté orthogonal est le point le plus proche