Additivité de la variance (admis) : énoncé (Terminale spé)
Additivité de la variance (admis)
Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, alors : $$V(X+Y)=V(X)+V(Y).$$ Plus généralement, si $X_1,\dots,X_n$ sont indépendantes : $$V(X_1+X_2+\dots+X_n)=V(X_1)+V(X_2)+\dots+V(X_n).$$
Vérification sur un cas simple
On reprend les variables indépendantes $X$ (pièce) et $Y$ (jeton) de la section précédente.
- $V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\frac12-\frac14=\frac14$.
- $V(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2=\frac{1+4+9}{3}-4=\frac{14}{3}-4=\frac23$.
Le théorème donne $V(X+Y)=\frac14+\frac23=\frac{11}{12}$.
Calcul direct à partir de la loi de $X+Y$ : $E\big((X+Y)^2\big)=\frac{1\times1+4\times2+9\times2+16\times1}{6}=\frac{43}{6}$, donc $$V(X+Y)=\frac{43}{6}-\left(\frac52\right)^2=\frac{86}{12}-\frac{75}{12}=\frac{11}{12}.$$ Les deux calculs concordent.
Sans indépendance, la formule est fausse
On reprend le dé et $Y=7-X$. On a $V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}$, et $V(Y)=V(-X+7)=V(X)=\frac{35}{12}$.
Comme $X+Y=7$ est constante, $V(X+Y)=0$, alors que $V(X)+V(Y)=\frac{35}{6}$.
L'espérance d'une somme est toujours la somme des espérances ; pour la variance, il faut l'indépendance.
S’entraîner
- Espérance et variance d'une combinaison linéaire
- Tirs à l'arc et loi binomiale
- Somme et moyenne d'un échantillon
- Premières utilisations de Bienaymé-Tchebychev
- Variance d'une différence
Dans le cours
Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres : Additivité de la variance (admis)