Calculer la variance d'une somme : méthode (Terminale spé)

Méthode

Calculer la variance d'une somme

Décomposer la variable en somme $X_1+\dots+X_n$.
Justifier l'indépendance des $X_i$ (en général : elles sont associées à des épreuves indépendantes, par exemple des tirages avec remise).
Calculer chaque $V(X_i)$, souvent par $V(X_i)=E(X_i^2)-E(X_i)^2$.
Additionner les variances, puis prendre la racine carrée pour obtenir l'écart type.

Exemple

Variance du gain sur quatre tirages

On reprend $G=G_1+G_2+G_3+G_4$. Les tirages sont faits avec remise, donc sont indépendants, et les $G_i$ sont indépendantes.

$E(G_i^2)=4\times0{,}6+1\times0{,}4=2{,}8$, donc $V(G_i)=2{,}8-0{,}8^2=2{,}8-0{,}64=2{,}16$.

Par additivité : $V(G)=4\times2{,}16=8{,}64$ et $\sigma(G)=\sqrt{8{,}64}\approx2{,}94$.

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