Exercice corrigé : Une droite qui s'appuie sur deux droites non coplanaires

Dans un repère de l'espace, on considère les droites : $$d_1 : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 0 \end{cases} \ (t \in \mathbb{R}) \qquad d_2 : \begin{cases} x = 0 \\ y = s \\ z = 2 + s \end{cases} \ (s \in \mathbb{R})$$ et le vecteur $\vec{w}(1 ; 1 ; 1)$.

1. Montrer que $d_1$ et $d_2$ sont non coplanaires.
2. On cherche une droite $\Delta$ de vecteur directeur $\vec{w}$ qui coupe à la fois $d_1$ et $d_2$. a) Soit $M_1(1 + t ; t ; 0)$ un point de $d_1$ et $M_2(0 ; s ; 2 + s)$ un point de $d_2$. Déterminer $t$ et $s$ pour que $\overrightarrow{M_1M_2}$ soit colinéaire à $\vec{w}$. b) En déduire qu'il existe une unique droite $\Delta$ convenable et en donner une représentation paramétrique.
3. Existe-t-il une droite de vecteur directeur $\vec{u}_1(1 ; 1 ; 0)$ qui coupe à la fois $d_1$ et $d_2$ ?