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Tester la colinéarité de deux vecteurs en coordonnées : méthode (Terminale spé)
Méthode
Tester la colinéarité de deux vecteurs en coordonnées
Pour savoir si $\vec{v}$ est colinéaire à $\vec{u} \neq \vec{0}$ :
- Choisir une coordonnée non nulle de $\vec{u}$ et en déduire la seule valeur possible de $k$ dans $\vec{v} = k\vec{u}$.
- Vérifier l'égalité sur les deux autres coordonnées.
- Conclure : si les trois égalités sont vraies, les vecteurs sont colinéaires ; si une seule échoue, ils ne le sont pas.
Exemple
Points alignés
Soit $A(1 ; 2 ; 3)$, $B(3 ; -1 ; 4)$ et $C(7 ; -7 ; 6)$.
$\overrightarrow{AB}(2 ; -3 ; 1)$ et $\overrightarrow{AC}(6 ; -9 ; 3)$.
La première coordonnée impose $k = 3$. On vérifie : $3 \times (-3) = -9$ et $3 \times 1 = 3$. Donc $\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}$ : les vecteurs sont colinéaires et les points $A$, $B$, $C$ sont alignés.
S’entraîner
- Sommes de vecteurs dans un cube
- Alignement, milieu et parallélogramme en coordonnées
- Représentation paramétrique et appartenance
- Décomposer des vecteurs dans un cube
- Colinéarité avec un paramètre
Dans le cours
Vecteurs, droites et plans de l'espace : Tester la colinéarité de deux vecteurs en coordonnées