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Calculs en coordonnées : énoncé (Terminale spé)

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Calculs en coordonnées

Dans un repère $(O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, avec $A(x_A ; y_A ; z_A)$, $B(x_B ; y_B ; z_B)$, $\vec{u}(x ; y ; z)$, $\vec{v}(x' ; y' ; z')$ et $\lambda$ réel :

$\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$ ;
$\vec{u} + \vec{v}\,(x + x' ; y + y' ; z + z')$ et $\lambda\vec{u}\,(\lambda x ; \lambda y ; \lambda z)$ ;
le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2} ; \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$ ;
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Attention

Colinéarité : le critère du plan ne suffit plus

Dans le plan, on teste la colinéarité avec $xy' - x'y = 0$. Dans l'espace, cette seule égalité ne suffit pas : il faut que les trois coordonnées soient proportionnelles.

Par exemple, $\vec{u}(1 ; 2 ; 0)$ et $\vec{v}(2 ; 4 ; 5)$ vérifient $1 \times 4 - 2 \times 2 = 0$, mais ils ne sont pas colinéaires : $\vec{v} = 2\vec{u}$ imposerait une cote nulle pour $\vec{v}$.

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Vecteurs, droites et plans de l'espace : Calculs en coordonnées