Tester la coplanarité de trois vecteurs en coordonnées : méthode (Terminale spé)
Tester la coplanarité de trois vecteurs en coordonnées
Pour savoir si $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires, avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires :
- Écrire $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ coordonnée par coordonnée : on obtient un système de trois équations à deux inconnues $a$ et $b$.
- Résoudre avec deux des équations.
- Vérifier la troisième équation avec les valeurs trouvées.
- Si elle est vérifiée, les vecteurs sont coplanaires ; sinon, ils ne le sont pas et $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est une base de l'espace.
Coplanaires ou non
Soit $\vec{u}(1 ; 2 ; -1)$ et $\vec{v}(0 ; 1 ; 3)$. Ils ne sont pas colinéaires : la première coordonnée de $\vec{v}$ est nulle alors que celle de $\vec{u}$ ne l'est pas, et $\vec{v} \neq \vec{0}$.
Cas 1 : $\vec{w}(2 ; 7 ; 7)$. On cherche $a$, $b$ tels que : $$\begin{cases} a = 2 \\ 2a + b = 7 \\ -a + 3b = 7 \end{cases}$$ Les deux premières lignes donnent $a = 2$ et $b = 3$. Troisième ligne : $-2 + 9 = 7$, vérifiée. Donc $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$ : les vecteurs sont coplanaires.
Cas 2 : $\vec{w}'(2 ; 7 ; 4)$. Les deux premières lignes donnent encore $a = 2$, $b = 3$, mais la troisième donne $-2 + 9 = 7 \neq 4$. Le système n'a pas de solution : $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}'$ ne sont pas coplanaires et forment une base de l'espace.
Repère orthonormé
Dans un repère quelconque, on ne peut pas calculer de longueurs avec les coordonnées. La formule $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ n'est valable que dans un repère orthonormé ; elle est étudiée avec le produit scalaire dans l'espace.
S’entraîner
- Sommes de vecteurs dans un cube
- Alignement, milieu et parallélogramme en coordonnées
- Représentation paramétrique et appartenance
- Décomposer des vecteurs dans un cube
- Colinéarité avec un paramètre
Dans le cours
Vecteurs, droites et plans de l'espace : Tester la coplanarité de trois vecteurs en coordonnées