Exercice corrigé : Congruences linéaires et piège de la simplification

1. Euclide : $60 = 3 \times 17 + 9$, $17 = 1 \times 9 + 8$, $9 = 1 \times 8 + 1$. Donc $60 \wedge 17 = 1$ et $17$ est inversible modulo $60$. En remontant : $$1 = 9 - 8 = 9 - (17 - 9) = 2 \times 9 - 17 = 2(60 - 3 \times 17) - 17 = 2 \times 60 - 7 \times 17.$$ Donc $17 \times (-7) \equiv 1 \;[60]$, et l'inverse de $17$ est $-7 \equiv 53 \;[60]$. Vérification : $17 \times 53 = 901 = 15 \times 60 + 1$.

2. Si $17x \equiv 5 \;[60]$, en multipliant par $53$ : $x \equiv 53 \times 5 = 265 \;[60]$. Réciproquement, si $x \equiv 265 \;[60]$, en multipliant par $17$ : $17x \equiv 17 \times 53 \times 5 \equiv 5 \;[60]$. Comme $265 = 4 \times 60 + 25$ : $$17x \equiv 5 \;[60] \iff x \equiv 25 \;[60].$$ Vérification : $17 \times 25 = 425 = 7 \times 60 + 5$. Les solutions sont les $x = 25 + 60k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3. On ne peut pas simplifier par $2$ sans précaution, car $2 \wedge 10 \neq 1$. On revient à la définition : $$6x \equiv 4 \;[10] \iff 10 \mid 2(3x - 2) \iff 5 \mid 3x - 2 \iff 3x \equiv 2 \;[5].$$ Or $3 \times 2 = 6 \equiv 1 \;[5]$ : l'inverse de $3$ modulo $5$ est $2$. Comme précédemment, $3x \equiv 2 \;[5] \iff x \equiv 4 \;[5]$. Les solutions sont les $x = 4 + 5k$, $k \in \mathbb{Z}$ ; modulo $10$, ce sont les classes de $4$ et de $9$. Vérification : $6 \times 4 = 24 \equiv 4$ et $6 \times 9 = 54 \equiv 4 \;[10]$.

4. Si $6x \equiv 5 \;[10]$, il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $6x - 5 = 10k$, soit $5 = 6x - 10k = 2(3x - 5k)$. Le membre de droite est pair et $5$ est impair : contradiction. La congruence n'a aucune solution, ce qui est cohérent avec $6 \wedge 10 = 2 \nmid 5$.

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