Multiples communs et lien avec le PGCD : énoncé (MPSI)

Point 1. Soit $m = a \vee b$. Tout multiple de $m$ est multiple de $a$ et de $b$. Réciproquement, soit $M$ un multiple commun ; écrivons $M = mq + r$ avec $0 \leqslant r < m$. Alors $r = M - mq$ est un multiple commun de $a$ et $b$. S'il était strictement positif, il contredirait la minimalité de $m$. Donc $r = 0$ et $m \mid M$.

Point 2. Les deux membres ne dépendent que de $|a|$ et $|b|$ ; on suppose $a, b > 0$. Soit $d = a \wedge b$, avec $a = da'$, $b = db'$ et $a' \wedge b' = 1$. Posons $m = da'b' = ab' = a'b$ : c'est un multiple commun strictement positif.

Soit $M$ un multiple commun : $M = ak = da'k$. Comme $b \mid M$, $db' \mid da'k$, donc $b' \mid a'k$. Par Gauss ($a' \wedge b' = 1$), $b' \mid k$, donc $k = b'l$ et $M = ml$. Tout multiple commun est un multiple de $m$, donc $m$ est le plus petit multiple commun strictement positif : $m = a \vee b$. Enfin $dm = d \cdot da'b' = (da')(db') = ab$.