Exercice corrigé : Signe de det(A^2+B^2) (type Mines-Ponts)

Pour $M\in\mathcal M_n(\mathbb C)$, on note $\overline M$ la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de $M$.

1. Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telle que $A^2=-I_n$. Montrer que $n$ est pair. Donner un exemple pour $n=2$.
2. Montrer que $\det\overline M=\overline{\det M}$ pour tout $M\in\mathcal M_n(\mathbb C)$.
3. Soit $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telles que $AB=BA$. Montrer que $\det(A^2+B^2)\geqslant0$.
4. Montrer, par un exemple dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$, que l'hypothèse $AB=BA$ ne peut pas être supprimée.
5. Montrer que $\det(A^2+A+I_n)\geqslant0$ pour tout $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$.