Pour $n\geqslant2$, on pose $A_n=(|i-j|)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ et $D_n=\det A_n$.
- Calculer $D_2$ et $D_3$.
- On effectue successivement $L_n\leftarrow L_n-L_{n-1}$, $L_{n-1}\leftarrow L_{n-1}-L_{n-2}$, …, $L_2\leftarrow L_2-L_1$. Décrire la matrice obtenue.
- On effectue ensuite $C_j\leftarrow C_j+C_1$ pour $2\leqslant j\leqslant n$. Décrire la matrice obtenue et en déduire $$D_n=(-1)^{n-1}(n-1)\,2^{n-2}.$$
Pour $i\geqslant2$, distinguer $j\leqslant i-1$ et $j\geqslant i$ dans le calcul de $|i-j|-|i-1-j|$.
Après les opérations sur les lignes, toutes les lignes d'indice $i\geqslant2$ commencent par $1$. Ajouter $C_1$ crée des zéros.
Dans la dernière colonne, un seul coefficient est non nul. Le mineur associé est triangulaire.
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$D_2=\det\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=-1$. En développant selon la première ligne, $$D_3=\det\begin{pmatrix}0&1&2\\1&0&1\\2&1&0\end{pmatrix}=0-1\cdot(0-2)+2\cdot(1-0)=4.$$
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Chaque opération retranche à $L_i$ la ligne $L_{i-1}$, pas encore modifiée : le déterminant ne change pas et la nouvelle ligne $i$ est l'ancienne $L_i$ moins l'ancienne $L_{i-1}$. Pour $i\geqslant2$ :
- si $j\leqslant i-1$ : $|i-j|-|i-1-j|=(i-j)-(i-1-j)=1$ ;
- si $j\geqslant i$ : $|i-j|-|i-1-j|=(j-i)-(j-i+1)=-1$.
La ligne $1$ reste $(0,1,2,\dots,n-1)$ ; pour $i\geqslant2$, la ligne $i$ est formée de $i-1$ coefficients $1$ suivis de $n-i+1$ coefficients $-1$.
- Les opérations $C_j\leftarrow C_j+C_1$ utilisent toutes $C_1$, qui n'est pas modifiée : le déterminant ne change pas. La colonne $C_1$ vaut $(0,1,\dots,1)^T$.
- Ligne $1$ : son premier coefficient est $0$, elle reste $(0,1,2,\dots,n-1)$.
- Ligne $i\geqslant2$, colonne $j\geqslant2$ : le coefficient devient $1+1=2$ si $j\leqslant i-1$ et $-1+1=0$ si $j\geqslant i$. Le premier coefficient reste $1$.
Ainsi, pour $i\geqslant2$, la ligne $i$ est $(1,2,\dots,2,0,\dots,0)$, avec des $2$ en colonnes $2$ à $i-1$ et des $0$ en colonnes $i$ à $n$.
Dans la dernière colonne, seul le coefficient $(1,n)$ est non nul (pour $i\geqslant2$, on a $n\geqslant i$, donc le coefficient $(i,n)$ est nul) ; il vaut $n-1$, avec le signe $(-1)^{1+n}$. Le mineur associé s'obtient en supprimant la ligne $1$ et la colonne $n$ : ses lignes sont les lignes $i=2,\dots,n$ restreintes aux colonnes $1$ à $n-1$. La ligne d'indice $i$ y occupe le rang $i-1$ et a des zéros dans les colonnes $j\geqslant i$ : cette matrice est triangulaire inférieure. Son coefficient diagonal en position $(i-1,i-1)$ vaut $1$ si $i=2$ et $2$ si $i\geqslant3$. Son déterminant est $2^{n-2}$. Donc $$D_n=(-1)^{n+1}(n-1)\,2^{n-2}=(-1)^{n-1}(n-1)\,2^{n-2}.$$ Contrôle : $n=2$ donne $-1$ et $n=3$ donne $2\times2=4$, conformément à la question 1.
$D_n=(-1)^{n-1}(n-1)\,2^{n-2}$