Prépa, 1re année › Dimension finie › Compléter une famille libre en une base
Compléter une famille libre en une base : méthode (MPSI)
Méthode
Compléter une famille libre en une base
- Choisir une famille génératrice simple (souvent la base canonique).
- Examiner ses vecteurs un par un : si le vecteur n'appartient pas à l'espace engendré par la famille en cours, on l'ajoute ; sinon on l'ignore.
- On s'arrête quand la famille obtenue engendre $E$ ; dès que la dimension est connue (section suivante), il suffit d'atteindre $\dim E$ vecteurs.
Exemple
Dans $\mathbb{R}^3$
Soit $u = (1,1,0)$ et $v = (0,1,1)$, famille libre car non colinéaires. On examine $e_1 = (1,0,0)$ : $a u + b v = (a, a+b, b) = (1,0,0)$ impose $a = 1$, $b = 0$, puis $a + b = 1 \neq 0$. Donc $e_1 \notin \operatorname{Vect}(u,v)$ et $(u, v, e_1)$ est libre.
Ensuite $e_2 = u - e_1$ et $e_3 = v - e_2 = v - u + e_1$ sont dans $\operatorname{Vect}(u, v, e_1)$. Cette famille engendre donc $\mathbb{R}^3$ : $(u, v, e_1)$ est une base de $\mathbb{R}^3$.
S’entraîner
- Une base de $\mathbb{R}^3$ et des coordonnées
- Base d'un sous-espace défini par des équations
- Rang d'une famille de $\mathbb{R}^4$ par échelonnement
- Une famille de polynômes trompeuse
- Noyau et image d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$