Théorème de la base incomplète : énoncé (MPSI)
Théorème de la base incomplète
Soit $E$ de dimension finie, $\mathcal{L} = (x_1, \dots, x_p)$ une famille libre de $E$ et $\mathcal{G} = (g_1, \dots, g_q)$ une famille génératrice finie de $E$. On peut compléter $\mathcal{L}$ par des vecteurs de $\mathcal{G}$ de façon à obtenir une base de $E$.
Démonstration : Théorème de la base incomplète
Preuve
Considérons les sous-familles $\mathcal{G}'$ de $\mathcal{G}$ telles que la concaténation $\mathcal{L} \cup \mathcal{G}'$ soit libre. Il en existe (par exemple $\mathcal{G}' = \emptyset$) et il y en a un nombre fini. On en choisit une, notée $\mathcal{G}'$, de cardinal maximal, et on pose $\mathcal{B} = \mathcal{L} \cup \mathcal{G}'$, famille libre.
Soit $j \in \{1, \dots, q\}$. Si $g_j \notin \operatorname{Vect}(\mathcal{B})$, alors $g_j$ n'est pas dans $\mathcal{G}'$ et, d'après la propriété précédente, $\mathcal{B} \cup (g_j)$ est libre : cela contredit la maximalité de $\mathcal{G}'$. Donc tous les $g_j$ sont dans $\operatorname{Vect}(\mathcal{B})$, d'où $E = \operatorname{Vect}(\mathcal{G}) \subset \operatorname{Vect}(\mathcal{B})$. La famille $\mathcal{B}$ est libre et génératrice : c'est une base.
S’entraîner
- Une base de $\mathbb{R}^3$ et des coordonnées
- Base d'un sous-espace défini par des équations
- Rang d'une famille de $\mathbb{R}^4$ par échelonnement
- Une famille de polynômes trompeuse
- Noyau et image d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$