Prépa, 1re année › Dimension finie › Espace de dimension finie
Espace de dimension finie : définition (MPSI)
Définition
Espace de dimension finie
On dit que $E$ est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie. Sinon, on dit que $E$ est de dimension infinie.
Exemples : $\mathbb{K}^n$ (engendré par la base canonique), $\mathbb{K}_n[X]$ (engendré par $1, X, \dots, X^n$), $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ (engendré par les matrices élémentaires $E_{i,j}$).
Exemple
$\mathbb{K}[X]$ est de dimension infinie
Soit $(P_1, \dots, P_p)$ une famille finie de polynômes et $d$ le maximum de leurs degrés (on prend $d=0$ si tous sont nuls). Toute combinaison linéaire des $P_i$ est de degré au plus $d$, donc $X^{d+1} \notin \operatorname{Vect}(P_1, \dots, P_p)$. Aucune famille finie n'engendre $\mathbb{K}[X]$.
S’entraîner
- Base d'un sous-espace défini par des équations
- Une famille de polynômes trompeuse
- Formule de Grassmann dans $\mathbb{R}^4$
- Un supplémentaire dans $\mathbb{R}_3[X]$
- Rang d'une somme d'applications linéaires