Prépa, 1re année › Dimension finie › Ajout d'un vecteur à une famille libre
Ajout d'un vecteur à une famille libre : énoncé (MPSI)
Propriété
Ajout d'un vecteur à une famille libre
Si $(x_1, \dots, x_p)$ est libre et si $x \notin \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$, alors $(x_1, \dots, x_p, x)$ est libre.
Démonstration : Ajout d'un vecteur à une famille libre
Démonstration
Preuve
Soit $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p + \lambda x = 0$. Si $\lambda \neq 0$, alors $x = -\frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i \in \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$, ce qui est exclu. Donc $\lambda = 0$, puis $\sum \lambda_i x_i = 0$ et la liberté de $(x_1, \dots, x_p)$ donne $\lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0$.
S’entraîner
- Une base de $\mathbb{R}^3$ et des coordonnées
- Base d'un sous-espace défini par des équations
- Rang d'une famille de $\mathbb{R}^4$ par échelonnement
- Une famille de polynômes trompeuse
- Rang d'une famille dépendant d'un paramètre