Exercice corrigé : Rang d'une somme d'applications linéaires

Soit $E$ et $F$ deux espaces de dimension finie et $u, v \in \mathcal{L}(E,F)$.

1. Montrer que $\operatorname{Im}(u + v) \subset \operatorname{Im} u + \operatorname{Im} v$, puis que $\operatorname{rg}(u + v) \leq \operatorname{rg} u + \operatorname{rg} v$.
2. Montrer que $|\operatorname{rg} u - \operatorname{rg} v| \leq \operatorname{rg}(u + v)$.
3. On suppose $E = F$ de dimension $n$. Montrer que, pour tout $u \in \mathcal{L}(E)$, $\operatorname{rg} u + \operatorname{rg}(\mathrm{id}_E - u) \geq n$.
4. Montrer par un exemple que l'inégalité de la question 1 peut être stricte.