On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ du produit scalaire $\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^\top B)$. On note $H=\{M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) : \operatorname{tr}M=0\}$.
- Montrer que $H$ est un hyperplan et en donner un vecteur normal.
- Pour $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, déterminer $p_H(M)$ et $d(M,H)$.
- Application : $n=2$ et $M=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$. Calculer $p_H(M)$ et $\displaystyle\min_{N\in H}\sum_{1\leqslant i,j\leqslant2}(m_{ij}-n_{ij})^2$.
Calculer $\langle I_n,M\rangle$.
Utiliser la formule de projection sur un hyperplan $u^\perp$ avec $u=I_n$.
La quantité à minimiser dans la question 3 est un carré de norme.
1. Pour toute $M$, $\langle I_n,M\rangle=\operatorname{tr}(I_n^\top M)=\operatorname{tr}M$. Donc $M\in H\iff\langle I_n,M\rangle=0$, c'est-à-dire $H=I_n^{\perp}=\operatorname{Vect}(I_n)^\perp$. L'espace $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est euclidien de dimension $n^2$ et $I_n\neq0$, donc $\dim H=n^2-1$ : $H$ est un hyperplan, de vecteur normal $I_n$.
2. $\|I_n\|^2=\operatorname{tr}(I_n)=n$. Par la formule de projection sur un hyperplan : $$p_H(M)=M-\frac{\langle I_n,M\rangle}{\|I_n\|^2}I_n=M-\frac{\operatorname{tr}M}{n}I_n.$$ Contrôle : $\operatorname{tr}(p_H(M))=\operatorname{tr}M-\frac{\operatorname{tr}M}{n}\cdot n=0$. Puis $$d(M,H)=\|M-p_H(M)\|=\frac{|\operatorname{tr}M|}{n}\|I_n\|=\frac{|\operatorname{tr}M|}{\sqrt n}.$$
3. $\operatorname{tr}M=5$, donc $$p_H(M)=\begin{pmatrix}1-\frac52&2\\3&4-\frac52\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac32&2\\3&\frac32\end{pmatrix}.$$ La somme $\sum(m_{ij}-n_{ij})^2$ vaut $\|M-N\|^2$. Son minimum sur $H$ est $d(M,H)^2=\frac{25}{2}$, atteint uniquement en $N=p_H(M)$. En particulier $d(M,H)=\frac{5}{\sqrt2}=\frac{5\sqrt2}{2}$.
$p_H(M)=M-\frac{\operatorname{tr}M}{n}I_n$, $d(M,H)=\frac{|\operatorname{tr}M|}{\sqrt n}$ ; exemple : minimum $\frac{25}{2}$