Déterminer noyau et image : méthode (MPSI)

Noyau. Résoudre l'équation $f(x)=0_F$ (système linéaire, équation sur des polynômes, équation différentielle…), puis écrire l'ensemble des solutions sous la forme $\mathrm{Vect}(\ldots)$.

Image.

1. Calculer les images des vecteurs d'une famille génératrice de $E$ (souvent la base canonique).
2. $\operatorname{Im} f$ est le sous-espace engendré par ces images.
3. Éliminer les vecteurs redondants (combinaisons linéaires des autres) pour obtenir une famille libre.
4. Si demandé, trouver des équations de $\operatorname{Im} f$ comme en section 2 : $y\in\operatorname{Im} f$ si et seulement si le système $f(x)=y$ d'inconnue $x$ est compatible.