Prépa, 1re année › Espaces vectoriels et applications linéaires › Détermination par les restrictions à deux supplémentaires
Détermination par les restrictions à deux supplémentaires : énoncé (MPSI)
Propriété
Détermination par les restrictions à deux supplémentaires
Soit $E=E_1\oplus E_2$, $u\in\mathcal{L}(E_1,F)$ et $v\in\mathcal{L}(E_2,F)$. Il existe une unique $f\in\mathcal{L}(E,F)$ telle que $f_{|E_1}=u$ et $f_{|E_2}=v$. Elle est donnée par
$$f(x_1+x_2)=u(x_1)+v(x_2)\qquad (x_1\in E_1,\ x_2\in E_2).$$
La preuve suit le même schéma : l'unicité de la décomposition rend la définition correcte, et la linéarité se vérifie directement.
Remarque
Injectif ne veut pas dire surjectif
En dimension quelconque, injectivité et surjectivité sont indépendantes. Dans $\mathbb{K}[X]$ :
- la dérivation $D$ est surjective (tout polynôme admet une primitive polynomiale) mais pas injective : $\ker D=\mathbb{K}_0[X]$, l'ensemble des polynômes constants ;
- $M:P\mapsto XP$ est injective ($XP=0\Rightarrow P=0$) mais pas surjective : $1\notin\operatorname{Im} M$.
L'équivalence « injective $\iff$ surjective » pour un endomorphisme n'existe qu'en dimension finie (chapitre suivant).
S’entraîner
- Un plan, une droite, projecteur et symétrie
- Suites récurrentes linéaires d'ordre deux
- Somme de deux projecteurs
- Un endomorphisme de M_n(K) construit avec la trace
- Noyau et image en somme directe