Utiliser la caractérisation de la signatureExploiter la conjugaison des transpositionsRaisonner sur un morphisme via une famille génératrice
Soit $n\geqslant2$ et $\varphi:(\mathfrak{S}_n,\circ)\to(\mathbb{C}^*,\times)$ un morphisme de groupes.
- Montrer que, pour toute transposition $t$, $\varphi(t)\in\{-1,1\}$.
- Montrer que $\varphi$ prend la même valeur sur toutes les transpositions.
- En déduire que $\varphi$ est soit le morphisme constant égal à 1, soit la signature.
- Montrer que, pour $n\geqslant3$, il n'existe aucun morphisme injectif de $\mathfrak{S}_n$ dans $\mathbb{C}^*$.
Indice 1
Une transposition vérifie $t^2=\mathrm{id}$.
Indice 2
Toute transposition $(a\ b)$ s'écrit $\gamma(1\ 2)\gamma^{-1}$, et $\mathbb{C}^*$ est commutatif.
Indice 3
Écrire une permutation quelconque comme produit de transpositions.
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