Exercice corrigé : Familles génératrices de transpositions

Soit $n\geqslant2$. Pour $1\leqslant k\leqslant n-1$, on note $s_k=(k\ \ k+1)$.

1. Soit $i,j$ distincts dans $[\![2,n]\!]$. Montrer que $(i\ j)=(1\ i)(1\ j)(1\ i)$. En déduire que les transpositions $(1\ k)$, $2\leqslant k\leqslant n$, engendrent $\mathfrak{S}_n$.
2. Montrer que, pour $2\leqslant k\leqslant n-1$, $(1\ \ k+1)=s_k\,(1\ k)\,s_k$. En déduire que $s_1,\dots,s_{n-1}$ engendrent $\mathfrak{S}_n$.
3. Pour $n=4$, écrire $(1\ 4)$ comme produit des $s_k$ et vérifier le résultat.