Exercice corrigé : Signature du battage parfait

Soit $n\geqslant1$. On définit $\sigma\in\mathfrak{S}_{2n}$ par $$\sigma(k)=2k-1\ \text{ pour } 1\leqslant k\leqslant n,\qquad \sigma(n+k)=2k\ \text{ pour } 1\leqslant k\leqslant n.$$ Sa deuxième ligne est donc $1,3,5,\dots,2n-1,2,4,\dots,2n$.

1. Justifier que $\sigma$ est bien une permutation de $[\![1,2n]\!]$.
2. Pour $n=3$, calculer $\varepsilon(\sigma)$ par les inversions puis par les cycles.
3. Dans le cas général, calculer $I(\sigma)$.
4. En déduire $\varepsilon(\sigma)$ et préciser pour quelles valeurs de $n$ la permutation $\sigma$ est paire.