Prépa, 1re année › Limites et continuité › Fonction lipschitzienne
Fonction lipschitzienne : définition (MPSI)
Définition
Fonction lipschitzienne
Soit $k \geq 0$. On dit que $f : I \to \mathbb{R}$ est $k$-lipschitzienne si $$\forall (x, y) \in I^2,\quad |f(x) - f(y)| \leq k\,|x - y|.$$ On dit que $f$ est lipschitzienne s'il existe un tel $k$. Géométriquement : les pentes des cordes du graphe sont toutes comprises entre $-k$ et $k$.
Exemple
Exemples de fonctions lipschitziennes
- Valeur absolue. Par l'inégalité triangulaire, $\big||x| - |y|\big| \leq |x - y|$ : elle est $1$-lipschitzienne sur $\mathbb{R}$.
- Sinus. Par la formule $\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$ et l'inégalité $|\sin u| \leq |u|$ : $$|\sin x - \sin y| \leq 2 \left|\frac{x-y}{2}\right| \cdot 1 = |x - y|.$$ Le sinus est $1$-lipschitzien sur $\mathbb{R}$.
- Carré sur un segment. Pour $x, y \in [-R, R]$, $|x^2 - y^2| = |x + y|\,|x - y| \leq 2R\,|x - y|$ : $x \mapsto x^2$ est $2R$-lipschitzienne sur $[-R, R]$.
Remarque
Lien avec la dérivée
Le chapitre sur la dérivation établira l'inégalité des accroissements finis : une fonction dérivable sur un intervalle dont la dérivée vérifie $|f'| \leq k$ est $k$-lipschitzienne. C'est en pratique le moyen le plus rapide de prouver qu'une fonction dérivable est lipschitzienne.
S’entraîner
- Une limite démontrée avec la définition
- Absence de limite et prolongement : $\sin(\ln x)$
- Équation fonctionnelle $f(2x) = f(x)$
- Point fixe d'une fonction contractante
- Continuité uniforme ou non