Théorème de Heine : énoncé (MPSI)

Par l'absurde, supposons $f$ continue sur $[a,b]$ mais non uniformément continue. La négation de la définition s'écrit : $$\exists \varepsilon > 0,\ \forall \eta > 0,\ \exists (x, y) \in [a,b]^2,\quad |x - y| \leq \eta \ \text{ et } \ |f(x) - f(y)| > \varepsilon.$$ Fixons un tel $\varepsilon$. Pour tout $n \geq 1$, avec $\eta = \frac{1}{n}$, on choisit $x_n, y_n \in [a,b]$ tels que $|x_n - y_n| \leq \frac{1}{n}$ et $|f(x_n) - f(y_n)| > \varepsilon$.

La suite $(x_n)$ est bornée : par Bolzano-Weierstrass, une sous-suite $(x_{\varphi(n)})$ converge vers un réel $c$, et $c \in [a,b]$. Comme $|y_{\varphi(n)} - x_{\varphi(n)}| \leq \frac{1}{\varphi(n)} \leq \frac{1}{n}$, on a aussi $y_{\varphi(n)} \to c$.

Par continuité de $f$ en $c$, $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$ et $f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)$, donc $f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)}) \to 0$. Cela contredit $|f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)})| > \varepsilon$ pour tout $n$. Donc $f$ est uniformément continue.