Lipschitzienne implique uniformément continue implique continue : énoncé (MPSI)

Première implication. Soit $f$ $k$-lipschitzienne. Si $k = 0$, $f$ est constante et le résultat est clair. Sinon, soit $\varepsilon > 0$ ; posons $\eta = \frac{\varepsilon}{k} > 0$. Pour $x, y \in I$ tels que $|x - y| \leq \eta$, on a $|f(x) - f(y)| \leq k\eta = \varepsilon$. Le réel $\eta$ ne dépend que de $\varepsilon$.

Seconde implication. Si $f$ est uniformément continue, soit $x \in I$ et $\varepsilon > 0$. Le $\eta$ fourni par la continuité uniforme convient pour tout couple, en particulier pour les couples $(x, y)$ avec $x$ fixé : c'est la définition de la continuité en $x$.