Montrer qu'une fonction n'est pas uniformément continue : méthode (MPSI)

1. $f(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$. Posons $x_n = n + \frac{1}{n}$ et $y_n = n$ pour $n \geq 1$. Alors $x_n - y_n = \frac{1}{n} \to 0$ et $$f(x_n) - f(y_n) = n^2 + 2 + \frac{1}{n^2} - n^2 = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2.$$ Cette différence ne tend pas vers $0$ : $f$ n'est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$, bien qu'elle soit lipschitzienne sur chaque segment $[-R, R]$.

2. $g(x) = \frac{1}{x}$ sur $]0, 1]$. Posons $x_n = \frac{1}{n}$ et $y_n = \frac{1}{n+1}$. Alors $x_n - y_n = \frac{1}{n(n+1)} \to 0$, mais $g(y_n) - g(x_n) = (n+1) - n = 1$. Donc $g$ n'est pas uniformément continue sur $]0,1]$.

Inégalité clé. Pour $x \geq y \geq 0$ : $\left(\sqrt{y} + \sqrt{x - y}\right)^2 = x + 2\sqrt{y(x-y)} \geq x$, donc $\sqrt{y} + \sqrt{x - y} \geq \sqrt{x}$, c'est-à-dire $\sqrt{x} - \sqrt{y} \leq \sqrt{x - y}$. Par symétrie, pour tous $x, y \geq 0$ : $$\left|\sqrt{x} - \sqrt{y}\right| \leq \sqrt{|x - y|}.$$ Continuité uniforme. Soit $\varepsilon > 0$ ; posons $\eta = \varepsilon^2$. Si $|x - y| \leq \eta$, alors $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| \leq \sqrt{\eta} = \varepsilon$. La racine carrée est uniformément continue sur $[0, +\infty[$.

Non lipschitzienne. Si elle était $k$-lipschitzienne, on aurait pour $x > 0$ : $\sqrt{x} = |\sqrt{x} - \sqrt{0}| \leq kx$, soit $\frac{1}{\sqrt{x}} \leq k$. Or $\frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$ quand $x \to 0^+$ : contradiction. Même sur le segment $[0,1]$, elle n'est pas lipschitzienne.