Nier la continuité uniforme par deux suitesThéorème de HeineMontrer qu'une fonction est lipschitzienne
- Montrer que $f : x \mapsto \sin(x^2)$ n'est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$.
- Soit $A > 0$. La fonction $f$ est-elle uniformément continue sur $[-A, A]$ ?
- Montrer que $\varphi : x \mapsto \frac{1}{1 + |x|}$ est $1$-lipschitzienne sur $\mathbb{R}$. Que peut-on en déduire ?
Indice 1
Choisir $x_n$ et $y_n$ tels que $x_n^2 = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ et $y_n^2 = 2n\pi$.
Indice 2
Pour montrer que $x_n - y_n \to 0$, écrire $x_n - y_n = \frac{x_n^2 - y_n^2}{x_n + y_n}$.
Indice 3
Pour $\varphi$, réduire $\varphi(x) - \varphi(y)$ au même dénominateur et utiliser $\big||x| - |y|\big| \leq |x - y|$.
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