Continuité uniforme : définition (MPSI)

On dit que $f : I \to \mathbb{R}$ est uniformément continue sur $I$ si $$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall (x, y) \in I^2,\quad |x - y| \leq \eta \implies |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon.$$ Comparer avec la continuité sur $I$ : $$\forall x \in I,\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall y \in I,\quad |x - y| \leq \eta \implies |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon.$$ Dans la continuité, $\eta$ peut dépendre de $\varepsilon$ et de $x$. Dans la continuité uniforme, un même $\eta$ convient pour tous les points de $I$ : seule la place de « $\forall x$ » change.