Exercice corrigé : Étude de $x \sin(1/x)$ : continuité uniforme sans caractère lipschitzien (type CCINP)

1. Sur $]0, 1]$, $f$ est continue comme produit et composée de fonctions continues ($x \mapsto \frac{1}{x}$ ne s'annule pas en dénominateur). En $0$ : pour $x \in ]0, 1]$, $|f(x)| \leq x$, donc $f(x) \to 0 = f(0)$ quand $x \to 0^+$ par encadrement. Ainsi $f$ est continue sur $[0, 1]$.

2. $f$ est continue sur le segment $[0, 1]$ : par le théorème de Heine, elle y est uniformément continue.

3. Soit $x, y \in [a, 1]$. On vérifie que $(x - y)\sin\frac{1}{x} + y\left(\sin\frac{1}{x} - \sin\frac{1}{y}\right) = x\sin\frac{1}{x} - y\sin\frac{1}{y} = f(x) - f(y)$. Le sinus étant $1$-lipschitzien, $$\left|\sin\frac{1}{x} - \sin\frac{1}{y}\right| \leq \left|\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right| = \frac{|x - y|}{xy}.$$ Donc $$|f(x) - f(y)| \leq |x - y| + y \cdot \frac{|x - y|}{xy} = \left(1 + \frac{1}{x}\right)|x - y| \leq \left(1 + \frac{1}{a}\right)|x - y|,$$ car $x \geq a > 0$. Ainsi $f$ est $\left(1 + \frac{1}{a}\right)$-lipschitzienne sur $[a, 1]$.

4. Pour $n \geq 1$, $0 < x_n < y_n \leq \frac{1}{2\pi} < 1$. On a $f(y_n) = y_n\sin(2n\pi) = 0$ et $f(x_n) = x_n\sin\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = x_n$. De plus $$y_n - x_n = \frac{\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) - 2n\pi}{2n\pi\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right)} = \frac{\pi/2}{2n\pi\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right)}.$$ Donc $$\frac{f(x_n) - f(y_n)}{x_n - y_n} = -\frac{x_n}{y_n - x_n} = -\frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}} \cdot \frac{2n\pi\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right)}{\pi/2} = -4n.$$ Si $f$ était $k$-lipschitzienne sur $[0, 1]$, on aurait $4n \leq k$ pour tout $n \geq 1$, ce qui est impossible. Donc $f$ n'est pas lipschitzienne sur $[0, 1]$, bien qu'uniformément continue : les pentes des cordes explosent au voisinage de $0$.

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