Rédiger une récurrence doubleVérifier deux initialisations
- Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$, $u_1=4$ et $u_{n+2}=4u_{n+1}-4u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. a) Calculer $u_2$ et $u_3$. b) Montrer que $u_n=(n+1)2^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
- Soit $(v_n)$ définie par $v_0=0$, $v_1=1$ et $v_{n+2}=v_{n+1}+2v_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$v_n=\frac{2^n-(-1)^n}{3}.$$
Indice 1
Le terme de rang $n+2$ dépend des rangs $n$ et $n+1$ : une récurrence double s'impose, avec deux initialisations.
Indice 2
Dans l'hérédité, mettre $2^{n+2}$ en facteur.
Indice 3
Pour $(v_n)$, utiliser $(-1)^{n+1}=-(-1)^n$ et $(-1)^{n+2}=(-1)^n$.
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