Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ canoniquement associé à $$A=\begin{pmatrix}3&-1&1\\2&0&1\\1&-1&2\end{pmatrix}.$$ On pose $u_1=(1,1,0)$, $u_2=(0,0,1)$, $u_3=(0,1,1)$ et $\mathcal B'=(u_1,u_2,u_3)$.
- Exprimer les vecteurs de la base canonique en fonction de $u_1,u_2,u_3$. En déduire que $\mathcal B'$ est une base de $\mathbb R^3$, et donner la matrice de passage $P$ de la base canonique à $\mathcal B'$ ainsi que $P^{-1}$.
- Calculer $f(u_1)$, $f(u_2)$, $f(u_3)$ et en déduire $T=\operatorname{Mat}_{\mathcal B'}(f)$. Quelle relation lie $A$, $T$ et $P$ ?
- Calculer $T^n$ pour $n\in\mathbb N$, puis $A^n$.
Chercher $e_1=\alpha u_1+\beta u_2+\gamma u_3$ en identifiant les coordonnées.
$P^{-1}$ est la matrice de passage de $\mathcal B'$ à la base canonique : ses colonnes sont les coordonnées de $e_1,e_2,e_3$ dans $\mathcal B'$.
$T$ est diagonale par blocs ; le bloc $\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ se traite par le binôme comme dans le cours.
- On cherche $(\alpha,\beta,\gamma)$ avec $\alpha u_1+\beta u_2+\gamma u_3=(\alpha,\ \alpha+\gamma,\ \beta+\gamma)$.
- $e_1=(1,0,0)$ : $\alpha=1$, $\gamma=-1$, $\beta=1$, donc $e_1=u_1+u_2-u_3$.
- $e_2=(0,1,0)$ : $\alpha=0$, $\gamma=1$, $\beta=-1$, donc $e_2=-u_2+u_3$.
- $e_3=u_2$. Ainsi $\mathcal B'$ engendre $\mathbb R^3$ ; c'est une famille génératrice de $3=\dim\mathbb R^3$ vecteurs, donc une base. On a $$P=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&-1&1\\-1&1&0\end{pmatrix},$$ car les colonnes de $P^{-1}=P_{\mathcal B',\mathcal B}$ sont les coordonnées de $e_1,e_2,e_3$ dans $\mathcal B'$.
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$f(u_1)=A(1,1,0)^\top=(2,2,0)^\top=2u_1$. $f(u_2)$ est la troisième colonne de $A$ : $(1,1,2)=u_1+2u_2$. $f(u_3)=A(0,1,1)^\top=(0,1,1)^\top=u_3$. En rangeant les coordonnées en colonnes : $$T=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad T=P^{-1}AP.$$
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$T=\begin{pmatrix}K&0\\0&1\end{pmatrix}$ avec $K=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$. Par produit par blocs, $T^n=\begin{pmatrix}K^n&0\\0&1\end{pmatrix}$, et $K=2I_2+N$ avec $N^2=0$ donne $K^n=\begin{pmatrix}2^n&n2^{n-1}\\0&2^n\end{pmatrix}$. Puis $A=PTP^{-1}$ donne $A^n=PT^nP^{-1}$. On calcule d'abord $$PT^n=\begin{pmatrix}2^n&n2^{n-1}&0\\2^n&n2^{n-1}&1\\0&2^n&1\end{pmatrix}$$ (colonnes : $2^nu_1$, $n2^{n-1}u_1+2^nu_2$, $u_3$), puis $$A^n=\begin{pmatrix}2^n+n2^{n-1}&-n2^{n-1}&n2^{n-1}\\2^n+n2^{n-1}-1&1-n2^{n-1}&n2^{n-1}\\2^n-1&1-2^n&2^n\end{pmatrix}.$$ Contrôles : $n=0$ donne $I_3$ ; $n=1$ donne $A$ ; $\operatorname{tr}A^n=2^{n+1}+1=\operatorname{tr}T^n$.
$T=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}=P^{-1}AP$, $A^n=\begin{pmatrix}2^n+n2^{n-1}&-n2^{n-1}&n2^{n-1}\\2^n+n2^{n-1}-1&1-n2^{n-1}&n2^{n-1}\\2^n-1&1-2^n&2^n\end{pmatrix}$