Exercice corrigé : Semblables ou non

On pose $$A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix},\ D=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix},\ M=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix},\ N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\ T=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\ S=\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}.$$

1. Montrer que $A$ et $D$ sont semblables, en donnant $P\in GL_2(\mathbb R)$ telle que $D=P^{-1}AP$.
2. Calculer $M^2$. Avec $x=(1,0)^\top$, montrer que $(Mx,x)$ est une base de $\mathbb R^2$ et en déduire que $M$ et $N$ sont semblables.
3. En déduire que $T$ et $S$ sont semblables.
4. $T$ et $I_2$ sont-elles semblables ? $A$ et $T$ sont-elles semblables ? équivalentes ?