OffresSe connecter
Prépa, 1re année › Matrices › Inverser une matrice par Gauss-Jordan

Inverser une matrice par Gauss-Jordan : méthode (MPSI)

Méthode

Inverser une matrice par Gauss-Jordan

  1. Écrire la matrice $(A\mid I_n)$ de taille $n\times 2n$.
  2. Par opérations élémentaires sur les lignes uniquement, transformer le bloc de gauche en $I_n$.
  3. Si c'est possible, le bloc de droite est $A^{-1}$. Si une ligne nulle apparaît à gauche, $A$ n'est pas inversible.

Justification : si $G\in GL_n(\mathbb K)$ code les opérations et $GA=I_n$, alors $G=A^{-1}$ (un inverse à gauche suffit) et le bloc de droite est $GI_n=A^{-1}$.

Exemple

Inversion d'une matrice $3\times3$

Soit $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}$. $$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&1&1&0&1&0\\1&0&1&0&0&1\end{array}\right)\ \xrightarrow{L_3\leftarrow L_3-L_1}\ \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&1&1&0&1&0\\0&-1&1&-1&0&1\end{array}\right)$$ $$\xrightarrow{L_3\leftarrow L_3+L_2}\ \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&1&1&0&1&0\\0&0&2&-1&1&1\end{array}\right)\ \xrightarrow{L_3\leftarrow \frac12L_3}\ \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&1&1&0&1&0\\0&0&1&-\frac12&\frac12&\frac12\end{array}\right)$$ $$\xrightarrow{L_2\leftarrow L_2-L_3}\ \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&1&0&\frac12&\frac12&-\frac12\\0&0&1&-\frac12&\frac12&\frac12\end{array}\right)\ \xrightarrow{L_1\leftarrow L_1-L_2}\ \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&\frac12&-\frac12&\frac12\\0&1&0&\frac12&\frac12&-\frac12\\0&0&1&-\frac12&\frac12&\frac12\end{array}\right)$$ Donc $$A^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}.$$ Vérification : chaque coefficient diagonal de $A\cdot 2A^{-1}$ vaut $2$ et les autres $0$.

Attention

Pivot dépendant d'un paramètre

Dans un système à paramètre $m$, on ne peut diviser par une expression comme $m-1$ qu'après avoir traité à part le cas $m=1$. Choisir de préférence des pivots constants non nuls, et repousser les coefficients dépendant de $m$ vers la fin de l'échelonnement.

Pour résoudre un système, on n'utilise que des opérations sur les lignes : une opération sur les colonnes change les inconnues (une permutation de colonnes permute les inconnues, ce qu'il faut alors noter).

S’entraîner

Dans le cours

Matrices : Inverser une matrice par Gauss-Jordan