Prépa, 1re année › Matrices › Invariance par multiplication par une matrice inversible
Invariance par multiplication par une matrice inversible : énoncé (MPSI)
Propriété
Invariance par multiplication par une matrice inversible
Pour $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$, $Q\in GL_n(\mathbb K)$, $P\in GL_p(\mathbb K)$ : $$\operatorname{rg}(QAP)=\operatorname{rg}A.$$ Deux matrices équivalentes ont donc le même rang.
Démonstration : Invariance par multiplication par une matrice inversible
Démonstration
Invariance du rang
Comme $u_P$ est surjective, $\operatorname{Im}(AP)=\{APX\}=\{AZ\mid Z\in\mathcal M_{p,1}(\mathbb K)\}=\operatorname{Im}A$. Ensuite $\operatorname{Im}(QAP)=u_Q(\operatorname{Im}(AP))$, et $u_Q$ est injective, donc conserve la dimension. Ainsi $\operatorname{rg}(QAP)=\dim\operatorname{Im}A=\operatorname{rg}A$.
S’entraîner
- Produits dans les deux sens
- Matrice d'un endomorphisme de polynômes
- Inversion par Gauss-Jordan
- Rang, noyau, image et équivalence
- Système à quatre inconnues
Dans le cours
Matrices : Invariance par multiplication par une matrice inversible