Prépa, 1re année › Matrices › Rang de la transposée
Rang de la transposée : énoncé (MPSI)
Propriété
Rang de la transposée
Pour tout $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ : $\operatorname{rg}A^\top=\operatorname{rg}A$. Autrement dit, le rang d'une matrice est aussi le rang de la famille de ses lignes.
Démonstration : Rang de la transposée
Démonstration
Rang de la transposée
Écrivons $A=QJ_rP^{-1}$ avec $r=\operatorname{rg}A$. Alors $A^\top=(P^{-1})^\top J_r^\top Q^\top$. Les matrices $(P^{-1})^\top$ et $Q^\top$ sont inversibles, et $J_r^\top$ est la matrice $J_r$ de $\mathcal M_{p,n}(\mathbb K)$, de rang $r$. Par invariance, $\operatorname{rg}A^\top=r$.
S’entraîner
- Matrice d'un endomorphisme de polynômes
- Rang, noyau, image et équivalence
- Système à quatre inconnues
- Système à paramètre
- Matrices de rang 1