Matrices extraites : énoncé (MPSI)
Matrices extraites
Une matrice extraite de $A$ s'obtient en ne gardant que certaines lignes et certaines colonnes.
- Le rang d'une matrice extraite de $A$ est inférieur ou égal à $\operatorname{rg}A$.
- $\operatorname{rg}A$ est la taille maximale d'une matrice carrée inversible extraite de $A$.
Démonstration : Matrices extraites
Matrices extraites
Supprimer des colonnes revient à passer à une sous-famille de colonnes : le rang ne peut que diminuer. Supprimer des lignes revient à supprimer des colonnes de $A^\top$, et $\operatorname{rg}A^\top=\operatorname{rg}A$. D'où le premier point, qui donne aussi : toute matrice carrée inversible extraite, de taille $s$, vérifie $s\le\operatorname{rg}A$.
Si $\operatorname{rg}A=r$, on choisit $r$ colonnes libres : la matrice extraite $A_1\in\mathcal M_{n,r}(\mathbb K)$ est de rang $r$. Ses lignes sont donc de rang $r$ : on en choisit $r$ libres, ce qui fournit une matrice $r\times r$ de rang $r$, donc inversible.
Calcul d'un rang
Soit $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&0&1\end{pmatrix}$.
Par les colonnes : $C_3=C_1+C_2$, et $C_1,C_2$ ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée de $C_2$ est nulle, pas celle de $C_1$, alors que $C_1\neq0$). Donc $\operatorname{rg}A=2$.
Par les lignes : $L_2=2L_1$ et $L_1,L_3$ ne sont pas colinéaires, ce qui confirme $\operatorname{rg}A=2$. La matrice extraite $\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}$ (lignes 1 et 3, colonnes 1 et 2) a pour déterminant $-2\neq0$ : elle est inversible de taille $2$.
S’entraîner
- Rang, noyau, image et équivalence
- Trace de $A^\top A$ et matrices symétriques nilpotentes
- Semblables ou non
- Matrices qui commutent
- Matrices de rang 1