Prépa, 1re année › Matrices › Rang d'une application et de sa matrice
Rang d'une application et de sa matrice : énoncé (MPSI)
Propriété
Rang d'une application et de sa matrice
Pour $u\in\mathcal L(E,F)$ et des bases $\mathcal B,\mathcal C$ : $\operatorname{rg}\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal C}(u)=\operatorname{rg}u$. Plus généralement, le rang d'une famille de vecteurs est égal au rang de sa matrice dans une base.
Démonstration : Rang d'une application et de sa matrice
Démonstration
Rang et matrice
L'application $\varphi:y\mapsto\operatorname{Mat}_{\mathcal C}(y)$ est un isomorphisme de $F$ sur $\mathcal M_{n,1}(\mathbb K)$. Elle envoie $\operatorname{Im}u=\operatorname{Vect}(u(e_1),\dots,u(e_p))$ sur $\operatorname{Vect}(C_1,\dots,C_p)$. Un isomorphisme conserve la dimension des sous-espaces, d'où l'égalité.
S’entraîner
- Produits dans les deux sens
- Matrice d'un endomorphisme de polynômes
- Inversion par Gauss-Jordan
- Rang, noyau, image et équivalence
- Système à quatre inconnues