Résoudre dans $\mathbb{C}$ :
- $e^z=-3$ ;
- $e^{2z}-2e^z+2=0$ ;
- Déterminer l'ensemble des $z\in\mathbb{C}$ tels que $e^z$ soit réel.
Écrire le second membre sous forme trigonométrique $re^{i\alpha}$ avec $r>0$.
Pour la question 2, poser $w=e^z$ et remarquer que $e^{2z}=(e^z)^2$.
Pour la question 3, écrire $z=x+iy$ et exprimer la partie imaginaire de $e^z$.
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$-3=3e^{i\pi}$ avec $3>0$. D'après le cours, $e^z=3e^{i\pi}$ si et seulement si $z=\ln3+i(\pi+2k\pi)$ avec $k\in\mathbb{Z}$.
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Posons $w=e^z$ ; alors $e^{2z}=w^2$ et l'équation devient $w^2-2w+2=0$. Son discriminant vaut $4-8=-4=(2i)^2$, donc $w=\frac{2\pm2i}{2}=1\pm i$. L'équation équivaut donc à $e^z=1+i$ ou $e^z=1-i$.
- $1+i=\sqrt2e^{i\pi/4}$ : $z=\frac{\ln2}{2}+i\left(\frac\pi4+2k\pi\right)$, $k\in\mathbb{Z}$.
- $1-i=\sqrt2e^{-i\pi/4}$ : $z=\frac{\ln2}{2}+i\left(-\frac\pi4+2k\pi\right)$, $k\in\mathbb{Z}$.
L'ensemble des solutions est la réunion de ces deux familles, soit $\left\{\frac{\ln 2}{2}+i\left(\pm\frac\pi4+2k\pi\right):k\in\mathbb{Z}\right\}$.
- Avec $z=x+iy$ : $e^z=e^x\cos y+ie^x\sin y$. Ce nombre est réel si et seulement si $e^x\sin y=0$, c'est-à-dire $\sin y=0$ car $e^x>0$, soit $y\in\pi\mathbb{Z}$. L'ensemble cherché est $\{x+ik\pi : x\in\mathbb{R},\ k\in\mathbb{Z}\}$, réunion de droites horizontales.
$\ln3+i(2k+1)\pi$ ; $\frac{\ln2}2+i\left(\pm\frac\pi4+2k\pi\right)$ ; $\{x+ik\pi,\ x\in\mathbb R,\ k\in\mathbb Z\}$