Calcul sur les arguments : énoncé (MPSI)

Pour $z,z'\in\mathbb{C}^*$ et $n\in\mathbb{Z}$, modulo $2\pi$ :

• $\arg(zz')\equiv\arg z+\arg z'$ ;
• $\arg\left(\dfrac1z\right)\equiv-\arg z$ et $\arg\overline{z}\equiv-\arg z$ ;
• $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)\equiv\arg z-\arg z'$ et $\arg(z^n)\equiv n\arg z$.

Preuve : si $z=re^{i\theta}$ et $z'=r'e^{i\theta'}$, alors $zz'=rr'e^{i(\theta+\theta')}$ avec $rr'>0$. Les autres règles s'en déduisent.

Il n'existe aucune formule pour l'argument d'une somme.