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Propriétés de l'exponentielle complexe : énoncé (MPSI)

Propriété

Propriétés de l'exponentielle complexe

Pour tous $z,z'\in\mathbb{C}$ :

$e^{z+z'}=e^ze^{z'}$ ; $e^z\neq 0$ et $\dfrac{1}{e^z}=e^{-z}$ ;
$|e^z|=e^{\mathrm{Re}(z)}$ et $\mathrm{Im}(z)$ est un argument de $e^z$ ;
$e^z=e^{z'}\iff z-z'\in2i\pi\mathbb{Z}$ ;
$\exp$ est surjective de $\mathbb{C}$ sur $\mathbb{C}^*$ : pour $a=re^{i\alpha}\in\mathbb{C}^*$ ($r>0$), $$e^z=a\iff z\in\left\{\ln r+i(\alpha+2k\pi):k\in\mathbb{Z}\right\}.$$

Preuve du troisième point : $e^{x+iy}=e^{x'+iy'}$ donne, en prenant les modules, $e^x=e^{x'}$, donc $x=x'$ ; il reste $e^{iy}=e^{iy'}$, donc $y-y'\in2\pi\mathbb{Z}$.

Exemple

Résoudre exp(z) = 1 + i

$1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$. Avec $z=x+iy$ : $e^xe^{iy}=\sqrt2e^{i\pi/4}$ équivaut à $e^x=\sqrt2$ et $y\equiv\frac\pi4\ [2\pi]$. Les solutions sont $$z=\frac{\ln2}{2}+i\left(\frac\pi4+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Attention

Pas de logarithme complexe

L'équation $e^z=a$ a une infinité de solutions : on ne définit pas de « $\ln$ » sur $\mathbb{C}$ dans le programme. Les règles $(e^z)^w=e^{zw}$ pour $w$ complexe n'ont pas de sens ici ; seule $(e^z)^n=e^{nz}$ pour $n\in\mathbb{Z}$ est valable.

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