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Obtenir la forme trigonométrique de a + ib : méthode (MPSI)

Méthode

Obtenir la forme trigonométrique de a + ib

Calculer $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.
Mettre $r$ en facteur : $z=r\left(\dfrac ar+i\dfrac br\right)$.
Chercher $\theta$ tel que $\cos\theta=\dfrac ar$ et $\sin\theta=\dfrac br$ ; les deux conditions sont nécessaires (une seule laisse deux angles possibles).

Autre voie souvent plus rapide : factoriser par l'angle moitié, ou utiliser le produit et le quotient de formes connues.

Exemple

Formes trigonométriques et puissances

$z=1+i\sqrt3$ : $|z|=\sqrt{1+3}=2$, $\cos\theta=\frac12$, $\sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}$, donc $z=2e^{i\pi/3}$. Alors $z^6=2^6e^{2i\pi}=64$.
$w=-1+i$ : $|w|=\sqrt2$, $\cos\theta=-\frac{\sqrt2}{2}$, $\sin\theta=\frac{\sqrt2}{2}$, donc $w=\sqrt2\,e^{3i\pi/4}$. Le calcul $\arctan\left(\frac{-1}{1}\right)$... ou $\arctan(b/a)=\arctan(-1)=-\frac\pi4$ donnerait un résultat faux : $w$ n'est pas dans le demi-plan $\mathrm{Re}>0$.
$\dfrac{1+i\sqrt3}{-1+i}=\dfrac{2}{\sqrt2}e^{i(\pi/3-3\pi/4)}=\sqrt2\,e^{-5i\pi/12}$.
$1+e^{i\theta}$ pour $\theta\in]-\pi,\pi[$ : $1+e^{i\theta}=2\cos\frac\theta2\,e^{i\theta/2}$ avec $2\cos\frac\theta2>0$ ; c'est une forme trigonométrique, de module $2\cos\frac\theta2$ et d'argument $\frac\theta2$.

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