Transformer a cos t + b sin t : méthode (MPSI)

Pour $(a,b)\neq(0,0)$ réels, on écrit $a+ib=Re^{i\varphi}$ avec $R=\sqrt{a^2+b^2}$. Alors $$a\cos t+b\sin t=\mathrm{Re}\big((a-ib)e^{it}\big)=\mathrm{Re}\big(Re^{i(t-\varphi)}\big)=R\cos(t-\varphi).$$ Exemple : $\sqrt3+i=2e^{i\pi/6}$, donc $\sqrt3\cos t+\sin t=2\cos\left(t-\frac\pi6\right)$. Ainsi l'équation $\sqrt3\cos t+\sin t=\sqrt2$ équivaut à $\cos\left(t-\frac\pi6\right)=\frac{\sqrt2}{2}$, soit $t\equiv\frac\pi6\pm\frac\pi4\ [2\pi]$, c'est-à-dire $t\equiv\frac{5\pi}{12}$ ou $t\equiv-\frac{\pi}{12}\ [2\pi]$.