Prépa, 1re année › Nombres complexes › Propriétés de θ ↦ exp(iθ)

Propriétés de θ ↦ exp(iθ) : énoncé (MPSI)

Propriété

Propriétés de θ ↦ exp(iθ)

Pour tous réels $\theta,\theta'$ :

$e^{i\theta}\in\mathbb{U}$, et tout élément de $\mathbb{U}$ s'écrit $e^{i\theta}$ pour un certain réel $\theta$ ;
$e^{i(\theta+\theta')}=e^{i\theta}e^{i\theta'}$ ;
$\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}=\dfrac{1}{e^{i\theta}}$ ;
$e^{i\theta}=e^{i\theta'}\iff \theta\equiv\theta'\ [2\pi]$, c'est-à-dire $\theta-\theta'\in 2\pi\mathbb{Z}$.

Autrement dit, $\theta\mapsto e^{i\theta}$ est un morphisme surjectif du groupe $(\mathbb{R},+)$ sur $(\mathbb{U},\times)$, de noyau $2\pi\mathbb{Z}$.

Démonstration : Propriétés de θ ↦ exp(iθ)

Démonstration

Preuve

$|e^{i\theta}|^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$. Si $z=a+ib\in\mathbb{U}$, alors $a^2+b^2=1$, donc le point $(a,b)$ est sur le cercle trigonométrique : il existe $\theta$ tel que $a=\cos\theta$ et $b=\sin\theta$.
$e^{i\theta}e^{i\theta'}=(\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta')+i(\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta')=\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')$ par les formules d'addition.
$\overline{e^{i\theta}}=\cos\theta-i\sin\theta=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)=e^{-i\theta}$, et $e^{i\theta}e^{-i\theta}=e^{i0}=1$.
$e^{i\theta}=e^{i\theta'}\iff e^{i(\theta-\theta')}=1\iff\cos(\theta-\theta')=1$ et $\sin(\theta-\theta')=0\iff \theta-\theta'\in2\pi\mathbb{Z}$.

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Nombres complexes : Propriétés de θ ↦ exp(iθ)