- Linéariser $\sin^4x$ pour $x\in\mathbb{R}$.
- En déduire $\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}\sin^4x\,\mathrm{d}x$.
- Linéariser $\cos^2x\sin^2x$ par la même méthode, puis contrôler le résultat avec la formule $\sin(2x)=2\sin x\cos x$.
Écrire $\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ et calculer $(2i)^4$.
Développer $(e^{ix}-e^{-ix})^4$ avec le binôme, puis regrouper $e^{ikx}+e^{-ikx}=2\cos(kx)$.
Pour la question 3, remarquer que $(e^{ix}+e^{-ix})(e^{ix}-e^{-ix})=e^{2ix}-e^{-2ix}$.
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Par Euler, $\sin^4x=\dfrac{(e^{ix}-e^{-ix})^4}{(2i)^4}$ avec $(2i)^4=16$. Le binôme donne $$(e^{ix}-e^{-ix})^4=e^{4ix}-4e^{2ix}+6-4e^{-2ix}+e^{-4ix}=2\cos(4x)-8\cos(2x)+6.$$ Donc $$\sin^4x=\frac{\cos(4x)-4\cos(2x)+3}{8}.$$ Contrôles : en $x=0$, $\frac{1-4+3}{8}=0=\sin^40$ ; en $x=\frac\pi2$, $\frac{1+4+3}{8}=1$.
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$$I=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos 4x-4\cos 2x+3}{8}\,\mathrm{d}x=\left[\frac{\sin4x}{32}-\frac{\sin2x}{4}+\frac{3x}{8}\right]_0^{\pi/2}=0-0+\frac{3\pi}{16}.$$ Donc $I=\dfrac{3\pi}{16}$.
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$$\cos^2x\sin^2x=\frac{(e^{ix}+e^{-ix})^2(e^{ix}-e^{-ix})^2}{2^2(2i)^2}=\frac{(e^{2ix}-e^{-2ix})^2}{-16}=\frac{e^{4ix}-2+e^{-4ix}}{-16}=\frac{2\cos(4x)-2}{-16}.$$ Donc $\cos^2x\sin^2x=\dfrac{1-\cos(4x)}{8}$. Contrôle : $\cos^2x\sin^2x=\frac{\sin^2(2x)}{4}$ et $\sin^2(2x)=\frac{1-\cos(4x)}{2}$, ce qui redonne $\frac{1-\cos 4x}{8}$.
$\sin^4x=\frac{\cos4x-4\cos2x+3}8$ ; $I=\frac{3\pi}{16}$ ; $\cos^2x\sin^2x=\frac{1-\cos4x}8$